☛ Comparer deux nombres

Énoncé

Sans effectuer de calcul, comparer les nombres suivants.
1. `2,1^2` et `3,5^2`
2. `0,1^2` et `0,6^2`
3. `(-2,3)^2` et `(-0,7)^2`
4. `(-3,1)^3` et `(-2,7)^3`
5. \(\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{1}{8}\)
6. \(\sqrt 3\) et \(\sqrt {5,5}\)

Solution

1. Les nombres \(2,1\) et \(3,5\) sont tous les deux dans l'intervalle \([0;+\infty[\) sur lequel la fonction carrée est strictement croissante. Comme \(2,1<3,5\), on obtient \(2,1^2<3,5^2\).
2. Les nombres \(0,1\) et \(0,6\) sont tous les deux dans l'intervalle \([0;+\infty[\) sur lequel la fonction carrée est strictement croissante. Comme \(0,1<0,6\), on obtient \(0,1^2<0,6^2\).
3. Les nombres \(-2,3\) et \(-0,7\) sont tous les deux dans l'intervalle \(]-\infty;0]\) sur lequel la fonction carrée est strictement décroissante. Comme \(-2,3<-0,7\), on obtient \((-2,3)^2>(-0,7)^2\).
4. Les nombres \(-3,1\) et \(-2,7\) sont tous les deux dans l'intervalle \(]-\infty;+\infty[\) sur lequel la fonction cube est strictement croissante. Comme \(-3,7<-2,7\), on obtient \((-3,7)^3<(-2,7)^3\).
5. Les nombres \(\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{1}{8}\) sont tous les deux dans l'intervalle \(]0;+\infty[\) sur lequel la fonction inverse est strictement décroissante. Comme \(4<8\), on obtient \(\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}\).
6. Les nombres \(3\) et \(5,5\) sont tous les deux dans l'intervalle \([0;+\infty[\) sur lequel la fonction racine carrée est strictement croissante. Comme \(3<5,5\), on obtient \(\sqrt 3<\sqrt{5,5}\).